第 27 章 中介分析：自然直接效应与间接效应
处理 \(Z\) 与结果 \(Y\) 之间有中间变量 \(M\) 时，由 \(U=\{M(1),M(0)\}\) 定义的主层上的因果效应，可以评估潜在组 \(U\) 上的处理效应异质性。若 \(M\) 确实处在从 \(Z\) 到 \(Y\) 的因果路径上，某些主层上的因果效应 \(\tau(1,1)\) 与 \(\tau(0,0)\)，可以透露 \(Z\) 对 \(Y\) 的直接效应。可这些直接效应只属于两个潜在组。另外两个主层上的因果效应 \(\tau(1,0)\) 与 \(\tau(0,1)\)，直接效应与间接效应搅在一起。根本上，主分层并不提供 \(Z\) 通过 \(M\) 对 \(Y\) 的间接效应的信息——因为它甚至不假定 \(M\) 可以被干预。
上面这些讨论里，「直接效应」「间接效应」我用得比较随口。当 \(M\) 落在从 \(Z\) 到 \(Y\) 的路径上，研究者常常想问：\(Z\) 对 \(Y\) 的效应，有多少是经过 \(M\) 的，有多少是经过别的路径的。这叫做中介分析（mediation analysis）。这一章就谈它。
27.1 动机例子
中介分析里有处理 \(Z\)、结果 \(Y\)、中介 \(M\)，以及一些背景协变量 \(X\)。图 27.1 画出它们的关系。下面给几个具体例子。
X
↙ ↓ ↘
Z → M → Y
↘____↗原书图 27.1：中介分析的因果图。\(X\) 指向 \(Z\)、\(M\) 与 \(Y\)；\(Z\) 指向 \(M\) 再指向 \(Y\)，同时有一条弯到 \(Y\) 的直接箭头。
例 27.1 VanderWeele et al. (2012) 做中介分析，评估染色体 15q25.1 上的变异对肺癌的效应，有多少经过吸烟中介，有多少走别的因果路径。1 暴露水平对应从 0 个到 2 个 C 等位基因的变化，吸烟强度用每天香烟数的平方根度量，结果是肺癌指示。VanderWeele et al. (2012) 的研究含许多社会人口学协变量。
例 27.2 Rudolph et al. (2018) 研究从邻里贫困到青少年物质使用的因果机制，中介是学校与同伴环境。他们用的是全国共病调查复测青少年补充调查（National Comorbidity Survey Replication Adolescent Supplement）的数据：2001–2004 年对美国青少年的全国代表性调查。处理是邻里劣势的二值指示，定义为住在 2000 年美国人口普查邻里社会经济地位最低三分位。四个二值中介度量学校与同伴环境，六个二值结果度量物质使用。基线协变量包括青少年的性别、年龄、种族、移民世代、家庭收入等。
例 27.3 R 包 mediation 里有一套数据 jobs，来自 JOBS II：一项随机化田野实验，关心就业培训干预对失业工人是否有效。第 21.5 节用过这套数据。项目的设计，不只是提高再就业，也想改善求职者的心理健康。因此有意思的是：评估干预通过求职效能对心理健康的间接效应，以及经过其他路径的直接效应。我们会在第 27.4.2 节再回到这个例子。
27.2 嵌套潜在结果
27.2.1 自然直接效应与间接效应
下面省掉单元下标 \(i\)，并假定所有随机变量都是超总体里的 IID 抽取。为简单起见，盯二值处理 \(Z\)。
先考虑对 \(z\) 的假想干预，定义对应于这场干预的潜在中介与潜在结果：
\[ \{M(z),Y(z):z=0,1\}. \]
再考虑同时干预 \(z\) 与 \(m\)，定义对应于这两场干预的潜在结果：
\[ \{Y(z,m):z=0,1;\ m\in\mathcal{M}\}, \]
其中 \(\mathcal{M}\) 装 \(m\) 所有可能的取值。Robins and Greenland (1992) 与 Pearl (2001) 进一步考虑嵌套潜在结果，对应于干预 \(z\) 以及 \(m=M(z')\)：
\[ \{Y(z,M_{z'}):z=0,1;\ z'=0,1\}, \]
其中我把 \(M(z')\) 写成 \(M_{z'}\)，免得括号太多。记号 \(Y(z,M_{z'})\) 是：若处理被设在水平 \(z\)，中介被设在处理 \(z'\) 下它的潜在水平 \(M(z')\)，这时的假想结果。要紧的是，\(z\) 与 \(z'\) 可以不同。处理为二值时，一共有四个嵌套潜在结果：
\[ \{Y(1,M_1),\ Y(1,M_0),\ Y(0,M_1),\ Y(0,M_0)\}. \]
嵌套潜在结果 \(Y(1,M_1)\) 是：处理被设在 \(z=1\)，中介被设成 \(z=1\) 下会发生的那个值。类似地，\(Y(0,M_0)\) 是处理被设在 \(z=0\)、中介被设成 \(z=0\) 下会发生的那个值。若 \(Y(1,M_1)\ne Y(1)\) 或 \(Y(0,M_0)\ne Y(0)\)，会让人吃惊。因此这一章从头到尾采用下面的复合假定。
假设 27.1（复合） 对 \(z=0,1\) 有 \(Y(z,M_z)=Y(z)\)。
复合假定证明不了。它确实是一条假定。若不陷入哲学争论，甚至可以把 \(Y(1)\) 定义成 \(Y(1,M_1)\)，把 \(Y(0)\) 定义成 \(Y(0,M_0)\)。于是按定义，假设 27.1 成立。
嵌套潜在结果 \(Y(1,M_0)\) 是：单元接受了处理 \(1\)，可中介被设成它在没有处理时的自然值 \(M_0\)。类似地，\(Y(0,M_1)\) 是：单元接受了对照 \(0\)，可中介被设成它在处理下的自然值 \(M_1\)。它们是两个跨世界反事实（cross-world counterfactual）量，用来定义直接效应与间接效应。
定义 27.1（总效应、直接效应与间接效应） 定义处理对结果的总效应为
\[ \tau=\mathrm{E}\{Y(1)-Y(0)\}. \]
定义自然直接效应（natural direct effect）为
\[ \mathrm{NDE}=\mathrm{E}\{Y(1,M_0)-Y(0,M_0)\}. \]
定义自然间接效应（natural indirect effect）为
\[ \mathrm{NIE}=\mathrm{E}\{Y(1,M_1)-Y(1,M_0)\}. \]
总效应就是 \(Z\) 对 \(Y\) 的标准平均因果效应。自然直接效应度量的是：若中介被设在没有干预时的自然值 \(M_0\)，处理对结果的效应。自然间接效应度量的是：若处理本身被设在 \(z=1\)，处理通过改中介带来的效应。在复合假定下，自然直接效应与间接效应化成
\[ \mathrm{NDE}=\mathrm{E}\{Y(1,M_0)-Y(0)\}, \qquad \mathrm{NIE}=\mathrm{E}\{Y(1)-Y(1,M_0)\}, \]
于是可以把总效应拆成自然直接效应与间接效应之和。
命题 27.1 由定义 27.1 与假设 27.1，有
\[ \tau=\mathrm{NDE}+\mathrm{NIE}. \]
数学上，也可以把自然间接效应定义成 \(\mathrm{E}\{Y(0,M_1)-Y(0,M_0)\}\)，这时处理被固定在 \(0\)。可这个定义给不出命题 27.1 那种分解。
可惜，嵌套潜在结果 \(Y(1,M_0)\) 并不好懂，因为它跨了两个世界：处理被设在 \(z=1\)，中介却被设在处理 \(z=0\) 下的自然值 \(M_0\)。很清楚，对处理的这两场干预，不可能在任何一场已经实现的实验里同时发生。要理解跨世界潜在结果 \(Y(1,M_0)\)，就得想象存在平行世界，如图 27.2。盯 \(Y(1,M_0)\)。处理被设在 \(z=1\) 时，中介必须取 \(M_1\)。若与此同时还想把中介设成 \(m=M_0\)，就必须从平行世界里另一场实验，知道同一个单元的 \(M_0\)。这可以是一场不现实的物理实验：它要求同一个单元在处理的两个不同水平上被干预。若对单元的同质性有很强的假定，或许可以用另一个单元在对照下的中介值，当作 \(M_0\) 的代理。
平行世界
/ \
干预 z=0 干预 z=1
/ \ / \
世界 0 世界 0′ 世界 1 世界 1′
M₀ 把 m 设成 M₁ M₁ 把 m 设成 M₀
Y(0,M₀) Y(0,M₁) Y(1,M₁) Y(1,M₀)
← 跨世界通信 →原书图 27.2：跨世界潜在结果 \(Y(1,M_0)\) 与 \(Y(0,M_1)\)。左边一对世界对应干预 \(z=0\)：世界 0 是自然的 \(M_0\) 与 \(Y(0,M_0)\)，世界 \(0'\) 把中介改成从右边借来的 \(M_1\)，得到 \(Y(0,M_1)\)。右边一对世界对应干预 \(z=1\)：世界 1 是自然的 \(M_1\) 与 \(Y(1,M_1)\)，世界 \(1'\) 把中介改成从左边借来的 \(M_0\)，得到 \(Y(1,M_0)\)。中间那条「跨世界通信」，就是这场想象里最别扭的一步。
27.2.2 形而上学，还是科学
因果推断很难，连数学记号都没有共识。Robins and Greenland (1992) 与 Pearl (2001) 用嵌套潜在结果去定义自然直接效应与间接效应。可 Frangakis and Rubin (2002) 把 \(Y(1,M_0)\) 与 \(Y(0,M_1)\) 叫做先验反事实（a priori counterfactuals）：任何物理实验里都观测不到它们。在这个意义上，它们先验地并不存在。按 Popper (1963)，区分科学与形而上学的一条办法，是陈述的可证伪性。也就是说，若一个陈述不能基于任何物理实验或观测被证伪，它就不是科学陈述，而是形而上学陈述。因为任何实验里都观测不到 \(Y(1,M_0)\) 与 \(Y(0,M_1)\)，除了那些琐碎的陈述（例如某些结果是二值的、连续的、或有界的），我们无法证伪任何牵涉它们的陈述。因此，一位严格的波普尔派统计学家，会把中介分析看成形而上学。
更刺耳的是，Dawid (2000) 批评潜在结果框架本身就是形而上学的，并把第 2.2 节定义的 Rubin「科学表」叫做「形而上学阵列」。这不只是在批评先验反事实 \(Y(1,M_0)\) 与 \(Y(0,M_1)\)，也在批评更简单的潜在结果 \(Y(1)\) 与 \(Y(0)\)。Dawid (2000) 的论点是：我们永远不能联合观测到 \(Y(1)\) 与 \(Y(0)\)，于是引进记号 \(\{Y(1),Y(0)\}\) 就是一项形而上学活动。关于联合分布 \(\operatorname{pr}\{Y(1),Y(0)\}\) 的形而上学性质，他说对了；关于边缘分布，他说错了。基于观测数据，我们确实可以证伪关于边缘分布的某些陈述，尽管不能证伪关于联合分布的任何陈述。2 因此，即便按 Popper (1963)，Rubin 的科学表也不是形而上学的：它有一些并非琐碎的可证伪推论，尽管并非所有推论都可证伪。这就是 \(\{Y(1),Y(0)\}\) 与 \(\{Y(1,M_0),Y(0,M_1)\}\) 的根本差别。
\[ \begin{aligned} &\max\bigl\{0,\ \operatorname{pr}(Y(1)\le y_1)+\operatorname{pr}(Y(0)\le y_0)-1\bigr\} \\ &\qquad \le \operatorname{pr}\bigl(Y(1)\le y_1,\ Y(0)\le y_0\bigr) \\ &\qquad \le \min\bigl\{\operatorname{pr}(Y(1)\le y_1),\ \operatorname{pr}(Y(0)\le y_0)\bigr\}. \end{aligned} \]
这常常是一条很松的不等式。可惜，不再加假定，我们就没有任何超出这条不等式的信息。
27.3 中介公式
Pearl (2001) 的中介公式立在下面四条假定上。前三条本质上假定：给定观测协变量，处理与中介都是随机化的。
假设 27.2 没有处理–结果混杂：对所有 \(z\) 与 \(m\)，
\[ Z\perp\!\!\!\perp Y(z,m)\mid X. \]
假设 27.3 没有中介–结果混杂：对所有 \(z\) 与 \(m\)，
\[ M\perp\!\!\!\perp Y(z,m)\mid(X,Z). \]
假设 27.2 与 27.3 合在一起，常常叫做序贯可忽略性（sequential ignorability）。它们等价于：给定 \(X\)，\((Z,M)\) 被联合随机化：对所有 \(z\) 与 \(m\)，
\[ (Z,M)\perp\!\!\!\perp Y(z,m)\mid X. \tag{27.1} \]
(27.1) 的证明留给习题 27.2。
假设 27.4 没有处理–中介混杂：对所有 \(z\)，
\[ Z\perp\!\!\!\perp M(z)\mid X. \]
最后一条假定是跨世界独立。
假设 27.5（跨世界独立） 潜在结果与潜在中介之间有跨世界独立：对所有 \(z\)、\(z'\) 与 \(m\)，
\[ Y(z,m)\perp\!\!\!\perp M(z')\mid X. \]
假设 27.2–27.4 已经很强，可至少在处理与中介都被随机化的实验里它们成立。假设 27.5 更强，因为没有任何物理实验能保证它。若 \(z\ne z'\)，我们在任何实验里都观测不到 \(Y(z,m)\) 与 \(M(z')\)，因此假设 27.5 永远无法被核实，它根本上是形而上学的。
下面给一个例子，假设 27.2–27.5 在其中都成立。
例 27.4 给定 \(X\)，我们生成
\[ \begin{aligned} Z &= 1\{g_Z(X,\varepsilon_Z)\ge 0\}, \\ M(z) &= 1\{g_M(X,z,\varepsilon_M)\ge 0\}, \\ Y(z,m) &= g_Y(X,z,m,\varepsilon_Y), \end{aligned} \]
其中 \(z,m=0,1\)，并且 \(\varepsilon_Z\)、\(\varepsilon_M\)、\(\varepsilon_Y\) 都是相互独立的随机误差。于是观测到的 \(M\) 与 \(Y\) 由
\[ \begin{aligned} M &= M(Z)=1\{g_M(X,Z,\varepsilon_M)\ge 0\}, \\ Y &= Y(Z,M)=g_Y(X,Z,M,\varepsilon_Y) \end{aligned} \]
生成。可以核实：在这个数据生成过程下，假设 27.2–27.5 成立。反过来，若允许 \(\varepsilon_M\) 与 \(\varepsilon_Y\) 变成 \(\varepsilon_M(z)\) 与 \(\varepsilon_Y(z,m)\)，则假设 27.2–27.5 可以失败。细节见习题 27.3。
Pearl (2001) 证明了中介分析的下面这条关键结果。
定理 27.1 在假设 27.2–27.5 下，有
\[ \mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\mid X=x\} = \sum_{m} \mathrm{E}(Y\mid Z=z,M=m,X=x) \operatorname{pr}(M=m\mid Z=z',X=x), \]
从而
\[\begin{align*} \mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\} &= \sum_{x} \mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\mid X=x\}\operatorname{pr}(X=x) \\ &= \sum_{x}\sum_{m} \mathrm{E}(Y\mid Z=z,M=m,X=x) \operatorname{pr}(M=m\mid Z=z',X=x) \operatorname{pr}(X=x). \end{align*}\]
定理 27.1 假定 \(M\) 与 \(X\) 都是离散的。对一般的 \(M\) 与 \(X\)，中介公式变成
\[ \mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\mid X=x\} = \int \mathrm{E}(Y\mid Z=z,M=m,X=x)\,f(m\mid Z=z',X=x)\,\mathrm{d}m \]
以及
\[\begin{align*} \mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\} &= \int \mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\mid X=x\}\,f(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \iint \mathrm{E}(Y\mid Z=z,M=m,X=x)\,f(m\mid Z=z',X=x)\,f(x)\,\mathrm{d}m\,\mathrm{d}x. \end{align*}\]
由定理 27.1，嵌套潜在结果均值的识别公式，依赖给定处理、中介与协变量时结果的条件均值，以及给定处理与协变量时中介的条件分布。若嵌套潜在结果牵涉跨世界干预，这两个条件均值就要在不同的处理水平上求。
若放下跨世界独立假定，可以改写自然直接效应与间接效应的定义，同样的公式仍然成立。细节见习题 27.11。
证明如下。
定理 27.1 的证明 由塔性质，\(\mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\}=\mathrm{E}\bigl[\mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\mid X\}\bigr]\)，因此只需证 \(\mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\mid X=x\}\) 的公式。从全概率公式出发，
\[\begin{align*} &\mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\mid X=x\} \\ &= \sum_{m} \mathrm{E}\{Y(z,M_{z'})\mid M_{z'}=m,X=x\} \operatorname{pr}(M_{z'}=m\mid X=x) \\ &= \sum_{m} \mathrm{E}\{Y(z,m)\mid M_{z'}=m,X=x\} \operatorname{pr}(M_{z'}=m\mid X=x) \\ &= \sum_{m} \underbrace{\mathrm{E}\{Y(z,m)\mid X=x\}}_{\text{假设 27.5}} \ \underbrace{\operatorname{pr}(M=m\mid Z=z',X=x)}_{\text{假设 27.4}} \\ &= \sum_{m} \underbrace{\mathrm{E}(Y\mid Z=z,M=m,X=x)}_{\text{假设 27.2 与 27.3}} \operatorname{pr}(M=m\mid Z=z',X=x). \end{align*}\]e{pr}(M=mZ=z’,X=x). \end{align*}
\(\square\)
从数学上看，上面的证明很直接。它说明的是：假设 27.2–27.5 为什么必要。
条件于 \(X=x\)，\(Y(1,M_1)\) 与 \(Y(0,M_0)\) 的中介公式化成
\[\begin{align*} \mathrm{E}\{Y(1,M_1)\mid X=x\} &= \sum_{m} \mathrm{E}(Y\mid Z=1,M=m,X=x) \operatorname{pr}(M=m\mid Z=1,X=x) \\ &= \mathrm{E}(Y\mid Z=1,X=x) \end{align*}\]
以及
\[\begin{align*} \mathrm{E}\{Y(0,M_0)\mid X=x\} &= \sum_{m} \mathrm{E}(Y\mid Z=0,M=m,X=x) \operatorname{pr}(M=m\mid Z=0,X=x) \\ &= \mathrm{E}(Y\mid Z=0,X=x), \end{align*}\]
这来自全概率公式；\(Y(1,M_0)\) 的中介公式化成
\[ \mathrm{E}\{Y(1,M_0)\mid X=x\} = \sum_{m} \mathrm{E}(Y\mid Z=1,M=m,X=x) \operatorname{pr}(M=m\mid Z=0,X=x), \]
其中结果的条件期望给定 \(Z=1\)，中介的条件分布给定 \(Z=0\)。这就给出自然直接效应与间接效应的识别公式。
推论 27.1 在假设 27.2–27.5 下，条件自然直接效应与间接效应可由
\[\begin{align*} \mathrm{NDE}(x) &= \mathrm{E}\{Y(1,M_0)-Y(0,M_0)\mid X=x\} \\ &= \sum_{m} \bigl\{\mathrm{E}(Y\mid Z=1,M=m,X=x)-\mathrm{E}(Y\mid Z=0,M=m,X=x)\bigr\} \\ &\qquad \times\operatorname{pr}(M=m\mid Z=0,X=x) \end{align*}\]
以及
\[\begin{align*} \mathrm{NIE}(x) &= \mathrm{E}\{Y(1,M_1)-Y(1,M_0)\mid X=x\} \\ &= \sum_{m} \mathrm{E}(Y\mid Z=1,M=m,X=x) \\ &\qquad \times\bigl\{\operatorname{pr}(M=m\mid Z=1,X=x)-\operatorname{pr}(M=m\mid Z=0,X=x)\bigr\} \end{align*}\]
识别；无条件的则可由 \(\mathrm{NDE}=\sum_{x}\mathrm{NDE}(x)\operatorname{pr}(X=x)\) 与 \(\mathrm{NIE}=\sum_{x}\mathrm{NIE}(x)\operatorname{pr}(X=x)\) 识别。
作为特例，\(M\) 为二值时，\(\mathrm{NIE}\) 的公式化成下面的乘积形式。
推论 27.2 在假设 27.2–27.5 下，对二值中介 \(M\)，有
\[ \mathrm{NIE}(x)=\tau_{Z\to M}(x)\,\tau_{M\to Y}(1,x) \]
以及 \(\mathrm{NIE}=\mathrm{E}\{\mathrm{NIE}(X)\}\)，其中
\[ \tau_{Z\to M}(x) = \operatorname{pr}(M=1\mid Z=1,X=x)-\operatorname{pr}(M=1\mid Z=0,X=x) \]
以及
\[ \tau_{M\to Y}(z,x) = \mathrm{E}(Y\mid Z=z,M=1,X=x)-\mathrm{E}(Y\mid Z=z,M=0,X=x). \]
推论 27.2 的证明留给习题 27.6。推论 27.2 给二值 \(M\) 一个简单公式。若给定 \(X\) 时 \(Z\) 随机化，可以把 \(\tau_{Z\to M}(x)\) 看成 \(Z\) 对 \(M\) 的条件平均因果效应。若给定 \((X,Z)\) 时 \(M\) 随机化，可以把 \(\tau_{M\to Y}(z,x)\) 看成 \(M\) 对 \(Y\) 的条件平均因果效应。条件自然间接效应等于它们的乘积。这与直觉相符：间接效应从 \(Z\) 走到 \(M\)，再从 \(M\) 走到 \(Y\)。
27.4 线性模型下的中介公式
定理 27.1 给出中介分析的非参数识别公式。它允许我们在不同模型下推出各种中介公式。下面介绍线性模型里著名的 Baron–Kenny 方法。VanderWeele (2015) 给许多常用模型写过自然直接效应与间接效应的显式公式。其他模型的细节，我留给第 27.6 节。
27.4.1 Baron–Kenny 方法
X
↙β₂ ↓ ↘θ₄
Z --β₁--> M --θ₂--> Y
↘______θ₁______↗
间接效应：β₁ θ₂
直接效应：θ₁原书图 27.3：线性模型下中介的 Baron–Kenny 方法。
Baron–Kenny 方法假定：给定处理与协变量，中介与结果都服从线性模型。
假设 27.6（Baron–Kenny 方法的线性模型） 中介与结果都服从线性模型：
\[ \begin{cases} \mathrm{E}(M\mid Z,X)=\beta_0+\beta_1 Z+\beta_2^{\mathrm{T}}X,\\ \mathrm{E}(Y\mid Z,M,X)=\theta_0+\theta_1 Z+\theta_2 M+\theta_4^{\mathrm{T}}X. \end{cases} \]
在这些线性模型下，自然直接效应与间接效应的公式化成系数的函数。
推论 27.3（中介的 Baron–Kenny 公式） 在假设 27.2–27.5 与 27.6 下，有
\[ \mathrm{NDE}=\theta_1, \qquad \mathrm{NIE}=\theta_2\beta_1. \]
推论 27.3 的公式，对照图 27.3 很直觉。直接效应等于路径 \(Z\to Y\) 上的系数，间接效应等于路径 \(Z\to M\to Y\) 上系数的乘积。我基于定理 27.1 给出证明。
推论 27.3 的证明 条件 \(\mathrm{NDE}\) 等于
\[ \mathrm{NDE}(x) = \sum_{m} \theta_1\operatorname{pr}(M=m\mid Z=0,X=x) = \theta_1, \]
条件 \(\mathrm{NIE}\) 等于
\[\begin{align*} \mathrm{NIE}(x) &= \sum_{m} (\theta_0+\theta_1+\theta_2 m+\theta_4^{\mathrm{T}}x) \\ &\qquad \times\bigl\{\operatorname{pr}(M=m\mid Z=1,X=x)-\operatorname{pr}(M=m\mid Z=0,X=x)\bigr\} \\ &= \theta_2\bigl\{\mathrm{E}(M\mid Z=1,X=x)-\mathrm{E}(M\mid Z=0,X=x)\bigr\} \\ &= \theta_2\beta_1, \end{align*}\]
它们都不依赖 \(x\)。因此它们也是无条件自然直接效应与间接效应的公式。\(\square\)
若得到这些系数的 OLS 估计，就可以用
\[ \widehat{\mathrm{NDE}}=\hat\theta_1, \qquad \widehat{\mathrm{NIE}}=\hat\theta_2\hat\beta_1 \]
去估直接效应与间接效应。这叫做 Baron–Kenny 方法（Judd and Kenny, 1981; Baron and Kenny, 1986），尽管它有若干前身（例如 Hyman, 1955; Alwin and Hauser, 1975; Judd and Kenny, 1981; Sobel, 1982）。
标准软件会从 OLS 报出 \(\widehat{\mathrm{NDE}}\) 的标准误。Sobel (1982, 1986) 用 delta 方法得到 \(\widehat{\mathrm{NIE}}\) 的标准误。基于例 A.2 的公式，\(\hat\theta_2\hat\beta_1\) 的渐近方差等于 \(\operatorname{var}(\hat\theta_2)\beta_1^{2}+\theta_2^{2}\operatorname{var}(\hat\beta_1)\)。于是估计方差是
\[ \widehat{\operatorname{var}}(\hat\theta_2)\hat\beta_1^{2}+\hat\theta_2^{2}\widehat{\operatorname{var}}(\hat\beta_1). \]
基于 \(\hat\theta_2\hat\beta_1\) 与上面的估计方差，去检验 \(\mathrm{NIE}\) 的原假设，文献里叫做 Sobel 检验（Sobel’s test）。
27.4.2 一个例子
可以用下面的代码很方便地实现 Baron–Kenny 方法。
library("car")
BKmediation = function(Z, M, Y, X)
{
## two regressions and coefficients
mediator.reg = lm(M ~ Z + X)
mediator.Zcoef = mediator.reg$coef[2]
mediator.Zse = sqrt(hccm(mediator.reg)[2, 2])
outcome.reg = lm(Y ~ Z + M + X)
outcome.Zcoef = outcome.reg$coef[2]
outcome.Zse = sqrt(hccm(outcome.reg)[2, 2])
outcome.Mcoef = outcome.reg$coef[3]
outcome.Mse = sqrt(hccm(outcome.reg)[3, 3])
## Baron-Kenny point estimates
NDE = outcome.Zcoef
NIE = outcome.Mcoef*mediator.Zcoef
## Sobel's variance estimate based on the delta method
NDE.se = outcome.Zse
NIE.se = sqrt(outcome.Mse^2*mediator.Zcoef^2 +
outcome.Mcoef^2*mediator.Zse^2)
res = matrix(c(NDE, NIE,
NDE.se, NIE.se,
NDE/NDE.se, NIE/NIE.se),
2, 3)
rownames(res) = c("NDE", "NIE")
colnames(res) = c("est", "se", "t")
res
}回到例 27.3，得到下面这些直接效应与间接效应的估计：
> jobsdata = read.csv("jobsdata.csv")
> Z = jobsdata$treat
> M = jobsdata$job_seek
> Y = jobsdata$depress2
> getX = lm(treat ~ econ_hard + depress1 +
+ sex + age + occp + marital +
+ nonwhite + educ + income,
+ data = jobsdata)
> X = model.matrix(getX)[, -1]
> res = BKmediation(Z, M, Y, X)
> round(res, 3)| est | se | \(t\) | |
|---|---|---|---|
| NDE | \(-0.037\) | \(0.042\) | \(-0.885\) |
| NIE | \(-0.014\) | \(0.009\) | \(-1.528\) |
直接效应与间接效应的估计都是负的，尽管都不显著。
27.5 敏感性分析
中介分析依赖很强、不可检验的假定。一条关键假定是：处理、中介与结果之间没有未测混杂。文献里出现过各种敏感性分析方法。特别地，Ding and VanderWeele (2016) 提过 Cornfield 型敏感性界，Zhang and Ding (2022) 提过一套针对 Baron–Kenny 方法、基于线性结构方程模型的敏感性分析。这些超出本书范围。
27.6 习题
27.1 Robins and Greenland (1992) 基于嵌套潜在结果对单元的澄清
假定 \((Z,M,Y)\) 都是二值的。基于
\[ M(1),\ M(0),\ Y(1,M_1),\ Y(1,M_0),\ Y(0,M_1),\ Y(0,M_0) \]
的联合取值，单元有多少种类型？
若假定 \(Z\) 对 \(M\) 的单调性，也就是
\[ M(1)\ge M(0), \]
则单元有多少种类型？
若再假定 \(Z\) 与 \(M\) 对 \(Y\) 的单调性，也就是对所有 \(z\) 与 \(m\)，
\[ Y(1,m)\ge Y(0,m), \qquad Y(z,1)\ge Y(z,0), \]
则单元有多少种类型？
27.2 序贯随机化与联合随机化
证明 (27.1) 等价于假设 27.2 与 27.3。
27.3 核实中介分析的假定
证明例 27.4 的数据生成过程下，假设 27.2–27.5 成立。再证明：若允许 \(\varepsilon_M\) 与 \(\varepsilon_Y\) 变成 \(\varepsilon_M(z)\) 与 \(\varepsilon_Y(z,m)\)，则假设 27.2–27.5 可以失败。
27.4 中介公式的另一套假定
Imai et al. (2010) 用下面这套假定去推中介公式。
假设 27.7 对所有 \(z\)、\(z'\)、\(m\)，有
\[ \{Y(z,m),M(z')\}\perp\!\!\!\perp Z\mid X \]
以及
\[ Y(z,m)\perp\!\!\!\perp M(z')\mid(Z=z',X). \]
定理 27.2 在假设 27.7 下，定理 27.1 的中介公式成立。
证明定理 27.2。
27.5 差分法与乘积法相同
正文里，我们先得到 OLS 拟合
\[ \begin{cases} \hat M_i=\hat\beta_0+\hat\beta_1 Z_i+\hat\beta_2^{\mathrm{T}}X_i,\\ \hat Y_i=\hat\theta_0+\hat\theta_1 Z_i+\hat\theta_2 M_i+\hat\theta_4^{\mathrm{T}}X_i. \end{cases} \]
\(\mathrm{NIE}\) 的估计是乘积 \(\hat\theta_2\hat\beta_1\)，叫做乘积法（product method）。
另一种做法是先得到 OLS 拟合：
\[ \begin{cases} \hat Y_i=\hat\alpha_0+\hat\alpha_1 Z_i+\hat\alpha_2^{\mathrm{T}}X_i,\\ \hat Y_i=\hat\theta_0+\hat\theta_1 Z_i+\hat\theta_2 M_i+\hat\theta_4^{\mathrm{T}}X_i. \end{cases} \]
\(\mathrm{NIE}\) 的另一个估计是差 \(\hat\alpha_1-\hat\theta_1\)，叫做差分法（difference method）。
证明 \(\hat\alpha_1-\hat\theta_1=\hat\theta_2\hat\beta_1\)。
注： 回想习题 16.2 的 Cochran 公式。
27.6 二值中介的自然间接效应
证明推论 27.2。
27.7 结果模型里有处理–中介交互
VanderWeele (2015) 建议用下面的线性模型：
\[ \begin{cases} \mathrm{E}(M\mid Z,X)=\beta_0+\beta_1 Z+\beta_2^{\mathrm{T}}X,\\ \mathrm{E}(Y\mid Z,M,X)=\theta_0+\theta_1 Z+\theta_2 M+\theta_3 ZM+\theta_4^{\mathrm{T}}X, \end{cases} \]
其中结果模型含处理与中介的交互项。
在上面的线性模型下，证明
\[ \mathrm{NDE}=\theta_1+\theta_3\bigl\{\beta_0+\beta_2^{\mathrm{T}}\mathrm{E}(X)\bigr\}, \qquad \mathrm{NIE}=(\theta_2+\theta_3)\beta_1. \]
有了 IID 数据，怎样估 \(\mathrm{NDE}\) 与 \(\mathrm{NIE}\)？
注： 考虑 \(Z\) 与 \(M\) 都是二值的简单情形。在这些线性模型下，\(Z\) 对 \(M\) 的平均因果效应等于 \(\beta_1\)，\(M\) 对 \(Y\) 的平均因果效应等于 \(\theta_2+\theta_3\mathrm{E}(Z)\)。因此有可能：这两个效应都为正，自然间接效应却为负。例如：
\[ \beta_1=1, \qquad \theta_2=1, \qquad \theta_3=-1.5, \qquad \mathrm{E}(Z)=0.5. \]
这有点像悖论，可以叫做中介悖论（mediator paradox）。Chen et al. (2007) 报告过相关的替代终点悖论或中间变量悖论。
27.8 连续中介与二值结果的中介分析
考虑中介的正态线性模型，以及二值结果的逻辑模型：
\[ \begin{cases} M\mid Z,X \sim \mathrm{N}(\beta_0+\beta_1 Z+\beta_2^{\mathrm{T}}X,\sigma_M^{2}), \\ \operatorname{logit}\{\operatorname{pr}(Y=1\mid Z,M,X)\} = \theta_0+\theta_1 Z+\theta_2 M+\theta_4^{\mathrm{T}}X, \end{cases} \]
其中 \(\operatorname{logit}(w)=\log\{w/(1-w)\}\)，逆函数 \(\operatorname{expit}(w)=(1+e^{-w})^{-1}\)。把 \(\mathrm{NDE}\) 与 \(\mathrm{NIE}\) 写成模型参数与 \(X\) 的分布的函数。有了 IID 数据，怎样估它们？
27.9 二值中介与连续结果的中介分析
考虑二值中介的逻辑模型，以及结果的线性模型：
\[ \begin{cases} \operatorname{logit}\{\operatorname{pr}(M=1\mid Z,X)\} = \beta_0+\beta_1 Z+\beta_2^{\mathrm{T}}X, \\ \mathrm{E}(Y\mid Z,M,X) = \theta_0+\theta_1 Z+\theta_2 M+\theta_4^{\mathrm{T}}X. \end{cases} \]
在这些模型下，证明
\[ \mathrm{NDE}=\theta_1, \qquad \mathrm{NIE} = \theta_2 \mathrm{E}\bigl\{ \operatorname{expit}(\beta_0+\beta_1+\beta_2^{\mathrm{T}}X) - \operatorname{expit}(\beta_0+\beta_2^{\mathrm{T}}X) \bigr\}. \]
有了 IID 数据，怎样估 \(\mathrm{NDE}\) 与 \(\mathrm{NIE}\)？
27.10 二值中介与二值结果的中介分析
考虑二值中介与二值结果的逻辑模型：
\[ \begin{cases} \operatorname{logit}\{\operatorname{pr}(M=1\mid Z,X)\} = \beta_0+\beta_1 Z+\beta_2^{\mathrm{T}}X, \\ \operatorname{logit}\{\operatorname{pr}(Y=1\mid Z,M,X)\} = \theta_0+\theta_1 Z+\theta_2 M+\theta_4^{\mathrm{T}}X. \end{cases} \]
把 \(\mathrm{NDE}\) 与 \(\mathrm{NIE}\) 写成模型参数与 \(X\) 的分布的函数。有了 IID 数据，怎样估它们？
27.11 改定义以放下跨世界独立
定义
\[ Y\bigl(z,F_{M_{z'}\mid X}\bigr) = \int Y(z,m)\,f(M_{z'}=m\mid X)\,\mathrm{d}m \]
为处理 \(z\) 下、从 \(M_{z'}\mid X\) 的分布里随机抽一个中介值时的潜在结果。\(M\) 离散时，定义化成
\[ Y\bigl(z,F_{M_{z'}\mid X}\bigr) = \sum_{m} Y(z,m)\operatorname{pr}(M_{z'}=m\mid X). \]
\(Y(z,M_{z'})\) 与 \(Y(z,F_{M_{z'}\mid X})\) 的关键差别是：\(M_{z'}\) 是同一个单元的潜在中介，而 \(F_{M_{z'}\mid X}\) 是从整个人群里潜在中介的条件分布中随机抽的一次。把自然直接效应与间接效应定义成
\[ \mathrm{NDE} = \mathrm{E}\bigl\{Y(1,F_{M_0\mid X})-Y(0,F_{M_0\mid X})\bigr\}, \qquad \mathrm{NIE} = \mathrm{E}\bigl\{Y(1,F_{M_1\mid X})-Y(1,F_{M_0\mid X})\bigr\}. \]
证明：在假设 27.2–27.4 下，\(\mathrm{NDE}\) 与 \(\mathrm{NIE}\) 的识别公式与正文相同。
注： 改写嵌套潜在结果的定义，让我们能放松很强的跨世界独立假定，可自然直接效应与间接效应的解释也变弱了。更多讨论见 VanderWeele (2015)；更复杂的随时间变化的处理与中介设定，见 VanderWeele and Tchetgen Tchetgen (2017) 的一个应用。
27.12 主分层与中介分析的联系
VanderWeele (2008) 与 Forastiere et al. (2018) 综述并比较过主分层与中介分析。