第 6 章　再随机化与回归调整

第 5 章里，分层与事后分层是离散协变量在「设计」与「分析」两端的一对对偶。若协变量是多维的、甚至连续的，又该怎么办？可以把连续变量离散化，可协变量一多，这就不再理想。再随机化（rerandomization）与回归调整（regression adjustment），则是一般协变量在设计与分析两端的对偶——正是本章主题。

第 5、6 章可汇总成一张安静的表：

设计 分析
离散协变量 分层 事后分层
一般协变量 再随机化 回归调整

6.1　再随机化

6.1.1　实验设计

仍考虑 \(n\) 个单元的有限总体，其中 \(n_1\) 个接受处理、\(n_0\) 个接受对照。令 \(Z=(Z_1,\ldots,Z_n)\) 为处理向量。单元 \(i\) 有协变量 \(X_i\in\mathbb{R}^K\)，分量可以连续或二值。把它们拼成 \(n\times K\) 矩阵 \(X=(X_1,\ldots,X_n)^\top\)，并中心化使 \(\bar X=n^{-1}\sum_{i=1}^{n}X_i=0\)，好让叙述更干净。

CRE 平均而言会平衡两组协变量——例如协变量均值差

\[ \hat\tau_X = n_1^{-1}\sum_{i=1}^{n}Z_i X_i - n_0^{-1}\sum_{i=1}^{n}(1-Z_i)X_i \]

在 CRE 下均值为零。可某次实现里，\(\hat\tau_X\) 往往并不为零，仍可能出现不理想的协变量失衡。用习题 4.6 的向量版 Neyman (1923)，可知

\[ \operatorname{cov}(\hat\tau_X) = \frac{1}{n_1}S_X^2+\frac{1}{n_0}S_X^2 = \frac{n}{n_1 n_0}S_X^2, \]

其中 \(S_X^2=(n-1)^{-1}\sum_{i=1}^{n}X_i X_i^\top\) 是协变量的有限总体协方差阵。下面的 Mahalanobis 距离度量两组差异：

\[ M = \hat\tau_X^\top\operatorname{cov}(\hat\tau_X)^{-1}\hat\tau_X = \hat\tau_X^\top\Bigl(\frac{n}{n_1 n_0}S_X^2\Bigr)^{-1}\hat\tau_X. \tag{6.1} \]

技术上，(6.1) 要求 \(S_X^2\) 可逆，即 \(X\) 的各列线性无关。若某列可被其他列线性表出，它是冗余的，实验前就该丢掉。\(M\) 有一个温柔的优点：对 \(X\) 的非退化线性变换不变。引理 6.1 总结此事，证明留作习题 6.2。

引理 6.1　若对所有单元把 \(X_i\) 换成 \(b_0+BX_i\)，其中 \(b_0\in\mathbb{R}^K\)、\(B\in\mathbb{R}^{K\times K}\) 可逆，则 (6.1) 中的 \(M\) 不变。

有限总体 CLT（Li and Ding, 2017）保证：\(n\) 较大时，CRE 下 \(M\) 近似 \(\chi^2_K\)。于是 \(M\) 常取较大实现值——渐近均值 \(K\)、方差 \(2K\)。再随机化的想法很朴素：把 \(M\) 过大的处理分配丢掉。下面写下用 Mahalanobis 距离的再随机化（ReM）——Cox (1982) 提出，Morgan and Rubin (2012) 进一步研究。

定义 6.1（ReM）　从 CRE 中抽取 \(Z\)，当且仅当 \(M\le a\) 时接受它，其中 \(a>0\) 是预先给定的常数。

选 \(a\) 的问题，有点像 SRE 里选层数：实践中并不轻松。一端 \(a=\infty\)，就回到 CRE；另一端 \(a=0\)，可行分配极少，实验几乎不再随机，基于随机化的推断也失去用武之地。折中是选一个小、却不过分小的 \(a\)——例如 \(0.001\)，或 \(\chi^2_K\) 的某个上分位数。

ReM 有许多可亲的性质：对协变量线性变换不变，几何性质好，数学理论也优雅。本章聚焦 ReM。

6.1.2　统计推断

重要问题是：ReM 下如何分析数据？Bruhn and McKenzie (2009)、Morgan and Rubin (2012) 指出：只要在约束 \(M\le a\) 下模拟 \(Z\)，就总能做 FRT，并在尖锐原假设下得到有限样本精确的 \(p\) 值。见习题 6.1。

若不假定尖锐原假设，推导 ReM 的有限样本性质则相当困难。Li et al. (2018b) 转而在下面这些正则条件下，给出结果均值差 \(\hat\tau\) 在 ReM 下的渐近分布。

条件 6.1　当 \(n\to\infty\)：

  1. \(n_1/n\) 与 \(n_0/n\) 有正极限；
  2. \(\{X_i,Y_i(1),Y_i(0),\tau_i\}\) 的有限总体协方差有有限极限；
  3. \(\max_i\{Y_i(1)-\bar Y(1)\}^2/n\to 0\)，对 \(Y(0)\) 类似，且 \(\max_i X_i^\top X_i/n\to 0\)。

下面是 ReM 的主定理，需一点额外记号。令

\[ L_{K,a}\sim D_1\mid D^\top D\le a, \]

其中 \(D=(D_1,\ldots,D_K)\) 服从 \(K\) 维标准正态；令 \(\varepsilon\) 为单变量标准正态，且 \(L_{K,a}\perp\!\!\!\perp\varepsilon\)。

定理 6.1　在 ReM（\(M\le a\)）与条件 6.1 下，1

\[ \frac{\hat\tau-\tau}{\sqrt{\operatorname{var}(\hat\tau)}} \ \cdot\sim\ \sqrt{R^2}\,L_{K,a}+\sqrt{1-R^2}\,\varepsilon, \]

其中

\[ \operatorname{var}(\hat\tau) = \frac{S^2(1)}{n_1}+\frac{S^2(0)}{n_0}-\frac{S^2(\tau)}{n} \]

是第 4 章的 Neyman 方差，而

\[ R^2=\operatorname{corr}^2(\hat\tau,\hat\tau_X) \]

是 CRE 下 \(\hat\tau\) 与 \(\hat\tau_X\) 的平方复相关系数（见附录 A.1.1）。

Li et al. (2018b) 的证明偏技术，可定理 6.1 的渐近分布有清晰几何图像（原书图 6.1）：\(\hat\tau\) 分解为「\(\hat\tau_X\) 的线性组合」与「与 \(\hat\tau_X\) 正交」两部分；几何上 \(\cos^2\theta=R^2\)，\(\theta\) 是 \(\hat\tau\) 与 \(\hat\tau_X\) 的夹角。ReM 影响第一分量，不改变第二分量；截断正态 \(L_{K,a}\) 正来自 ReM 对第一分量的约束。

当 \(a=\infty\)，渐近分布回到 CRE：\((\hat\tau-\tau)/\sqrt{\operatorname{var}(\hat\tau)}\ \cdot\sim\ \varepsilon\)。当阈值 \(a\) 接近零，则

\[ \frac{\hat\tau-\tau}{\sqrt{\operatorname{var}(\hat\tau)}} \ \cdot\sim\ \sqrt{1-R^2}\,\varepsilon; \]

严格证明见 Wang and Li (2022)。于是阈值很小时，ReM 的效率增益取决于 \(R^2\)，它有如下等价形式。

命题 6.1　在 CRE 下，

\[ R^2 = \frac{n_1^{-1}S^2(1\mid X)+n_0^{-1}S^2(0\mid X)-n^{-1}S^2(\tau\mid X)} {n_1^{-1}S^2(1)+n_0^{-1}S^2(0)-n^{-1}S^2(\tau)}, \]

其中 \(\{S^2(1),S^2(0),S^2(\tau)\}\) 是 \(\{Y_i(1),Y_i(0),\tau_i\}\) 的有限总体方差，\(\{S^2(1\mid X),\ldots\}\) 是它们在 \((1,X_i)\) 上线性投影后的对应方差（见附录 B.2）。若个体效应为常数 \(\tau_i=\tau\)，则 \(R^2\) 化简为 \(S^2(0\mid X)/S^2(0)\)，即 \(Y_i(0)\) 与 \(X_i\) 的有限总体平方复相关。

证明留作习题 6.4。

当 \(0<a<\infty\) 时，\(\hat\tau\) 的渐近分布更复杂，但更集中于 \(\tau\)——因而 ReM 下均值差比 CRE 更精确。

若忽略 ReM 设计，仍用 Neyman (1923) 方差与正态近似做置信区间，即便个体效应为常数也会过度保守、过度覆盖。Li et al. (2018b) 建议基于定理 6.1 构造区间。细节先按下不表，6.3 节再回来谈推断。

6.2　回归调整

若设计阶段没做再随机化，却想在 CRE 的分析阶段调整协变量失衡，该怎么办？下面谈几种回归调整策略。

6.2.1　协变量调整的 FRT

协变量 \(X\) 固定；在 \(H_{0\mathrm{f}}\) 下观测结果也固定。因此可模拟任意 \(T=T(Z,Y,X)\) 的分布并算 \(p\) 值——有额外协变量时，FRT 的基本想法不变。

构造检验统计量有两种一般策略（习题 3.6 已暗示过）。用 Zhao and Ding (2021a) 的术语，可以这样概括。

定义 6.2（伪结果策略）　基于拟合模型的残差构造统计量：把 \(Y_i\) 对 \(X_i\) 回归得残差 \(\hat\varepsilon_i\)，再把 \(\hat\varepsilon_i\) 当作伪结果去构造检验统计量。

定义 6.3（模型输出策略）　用回归系数作检验统计量：把 \(Y_i\) 对 \((Z_i,X_i)\) 回归，取 \(Z_i\) 的系数作为检验统计量。

伪结果策略里，\(Y_i\) 对 \(X_i\) 的回归不应包含处理 \(Z_i\)——好让原结果满足 \(H_{0\mathrm{f}}\) 时，伪结果也满足。模型输出策略里，回归应包含 \(Z_i\)——好用其系数度量对 \(H_{0\mathrm{f}}\) 的偏离。计算上，策略一只跑一次回归；策略二要跑许多次。

这里的「回归」是统称：可以是线性、逻辑斯蒂，甚至机器学习。两种策略下的 FRT 在 \(H_{0\mathrm{f}}\) 下都有限样本精确；备择下表现则不同。这一节剩下的部分，回顾基于 OLS 的一些统计量。

6.2.2　协方差分析及其扩展

现在把目光转向：直接估计平均因果效应 \(\tau\)，并调整观测协变量。

历史上，Fisher (1925) 提出用协方差分析（ANCOVA）提高估计效率，至今仍是许多领域的标准做法。他建议把 \(Y_i\) 对 \((1,Z_i,X_i)\) 做 OLS，取 \(Z_i\) 的系数估计 \(\tau\)。记 Fisher 的 ANCOVA 估计量为 \(\hat\tau_F\)。

前伯克利统计教授 David A. Freedman，在 Neyman (1923) 的潜在结果框架下重访了 Fisher 的 ANCOVA。Freedman (2008a,b) 发现几件「不太好听」的事：

  1. \(\hat\tau_F\) 有偏，而简单均值差 \(\hat\tau\) 无偏；
  2. 当 \(n_1\ne n_0\) 时，\(\hat\tau_F\) 的渐近方差甚至可能大于 \(\hat\tau\)；
  3. OLS 给出的标准误，在 CRE 下对 \(\hat\tau_F\) 的真实标准误不相合。

前伯克利博士生 Winston Lin 写了论文回应。Lin (2013) 找到几件「好听」的事：

  1. \(\hat\tau_F\) 的偏倚在大样本下很小，并随样本量趋于零；
  2. 在 \(Y_i\) 对 \((1,Z_i,X_i,Z_i\times X_i)\) 的 OLS 中取 \(Z_i\) 的系数，可同时改进 \(\hat\tau\) 与 \(\hat\tau_F\) 的渐近效率。记 Lin (2013) 的估计量为 \(\hat\tau_L\)；且 EHW 标准误是 CRE 下 \(\hat\tau_L\) 真实标准误的保守估计；
  3. \(Y_i\) 对 \((1,Z_i,X_i)\) 拟合时，\(\hat\tau_F\) 的 EHW 标准误[^2] 也是 CRE 下真实标准误的保守估计。

6.2.2.1　理解 Lin (2013) 结果的一点直觉

Neyman (1923) 表明：\(\hat\tau\) 的方差依赖潜在结果的方差。直觉上，若能减小潜在结果的方差，就能减小估计量的方差。一族线性调整估计量为

\[ \begin{align} \hat\tau(\beta_1,\beta_0) &= n_1^{-1}\sum_{i=1}^{n}Z_i(Y_i-\beta_1^\top X_i) - n_0^{-1}\sum_{i=1}^{n}(1-Z_i)(Y_i-\beta_0^\top X_i) \tag{6.2}\\ &= \bigl\{\hat{\bar Y}(1)-\beta_1^\top\hat{\bar X}(1)\bigr\} - \bigl\{\hat{\bar Y}(0)-\beta_0^\top\hat{\bar X}(0)\bigr\}. \tag{6.3} \end{align} \]

它通过对潜在结果残差化，试图减小 \(\hat\tau\) 的方差；\(\beta_1=\beta_0=0\) 时回到 \(\hat\tau\)。因 \(\bar X=0\)，对任意固定的 \(\beta_1,\beta_0\)，它均值为 \(\tau\)。我们想找使 \(\operatorname{var}\{\hat\tau(\beta_1,\beta_0)\}\) 最小的 \((\beta_1,\beta_0)\)。

由 Neyman (1923)，

\[ \operatorname{var}\{\hat\tau(\beta_1,\beta_0)\} = \frac{S^2(1;\beta_1)}{n_1} + \frac{S^2(0;\beta_0)}{n_0} - \frac{S^2(\tau;\beta_1,\beta_0)}{n}, \]

保守方差估计为 \(\hat V(\beta_1,\beta_0)=\hat S^2(1;\beta_1)/n_1+\hat S^2(0;\beta_0)/n_0\)。最小化 \(\hat V\)，等价于分别在处理组与对照组做两次 OLS：

\[ \min_{\gamma_1,\beta_1}\sum_{i=1}^{n}Z_i(Y_i-\gamma_1-\beta_1^\top X_i)^2, \qquad \min_{\gamma_0,\beta_0}\sum_{i=1}^{n}(1-Z_i)(Y_i-\gamma_0-\beta_0^\top X_i)^2. \]

得 \((\hat\gamma_1,\hat\beta_1)\)、\((\hat\gamma_0,\hat\beta_0)\) 后，最终估计量为 \(\hat\tau(\hat\beta_1,\hat\beta_0)\)。由 OLS 性质（见 (B.5)），\(\hat{\bar Y}(1)=\hat\gamma_1+\hat\beta_1^\top\hat{\bar X}(1)\) 等成立，于是

\[ \hat\tau(\hat\beta_1,\hat\beta_0)=\hat\gamma_1-\hat\gamma_0. \tag{6.4} \]

(6.4) 暗示：一次 OLS 就能得到它。

命题 6.2　(6.4) 中的 \(\hat\tau(\hat\beta_1,\hat\beta_0)\)，等于 \(Y_i\) 对 \((1,Z_i,X_i,Z_i\times X_i)\) 做 OLS 时 \(Z_i\) 的系数——即前面的 Lin (2013) 估计量 \(\hat\tau_L\)。

证明留作习题 6.7，纯属线性代数事实。

相应地，\(\hat\tau_L\) 的保守方差估计为 \(\hat V(\hat\beta_1,\hat\beta_0)\)（用各组残差平方和除以 \(n_z(n_z-1)\)）。Lin (2013) 进一步证明：命题 6.2 那次 OLS 的 EHW 标准误几乎就是 \(\hat V(\hat\beta_1,\hat\beta_0)\)，且对 CRE 下 \(\hat\tau_L\) 的真实标准误保守。直觉是：我们并不假定线性模型正确，而 EHW 对模型设定错误稳健。

有一点细微：\(\operatorname{var}\{\hat\tau(\beta_1,\beta_0)\}\) 对固定系数成立，而 \(\hat\tau(\hat\beta_1,\hat\beta_0)\) 用了估计系数，额外不确定性可能带来有限样本偏倚。Lin (2013) 说明渐近上这不成问题——\(\hat\tau(\hat\beta_1,\hat\beta_0)\) 表现得像 \(\hat\tau(\tilde\beta_1,\tilde\beta_0)\)，其中 \(\tilde\beta_z\) 是 \(\hat\beta_z\) 的极限。启发式地，二者之差依赖 \((\hat\beta_z-\tilde\beta_z)^\top\hat{\bar X}(z)\)，是两个小阶项之积。作为提醒：渐近理论需要大样本与正则条件；有限样本里，因估计系数的额外不确定性，回归调整甚至可能有害。

6.2.2.2　从「预测潜在结果」理解 Lin (2013)

也可把 Lin (2013) 看作：用处理组数据建 \(Y(1)\) 对 \(X\) 的预测 \(\hat\mu_1(X)=\hat\gamma_1+\hat\beta_1^\top X\)，用对照组建 \(\hat\mu_0(X)=\hat\gamma_0+\hat\beta_0^\top X\)（原书表 6.1）。若只补全缺失潜在结果，得预测型估计量

\[ \hat\tau_{\mathrm{pred}} = n^{-1}\Bigl( \sum_{Z_i=1}Y_i+\sum_{Z_i=0}\hat\mu_1(X_i) - \sum_{Z_i=1}\hat\mu_0(X_i)-\sum_{Z_i=0}Y_i \Bigr); \tag{6.7} \]

若连已观测的也用模型值替换，得投影型估计量

\[ \hat\tau_{\mathrm{proj}} = n^{-1}\sum_{i=1}^{n}\{\hat\mu_1(X_i)-\hat\mu_0(X_i)\}. \tag{6.9} \]

在线性预测 (6.5)(6.6) 下，二者都等于 \(\hat\tau_L\)：

\[ \hat\tau_{\mathrm{pred}}=\hat\tau_L=\hat\tau_{\mathrm{proj}}. \tag{6.8},\ \text{(6.10)} \]

证明留作习题 6.8。「预测型 / 投影型」用语来自抽样调查文献（Firth and Bennett, 1998; Ding and Li, 2018）。更一般的 (6.7)(6.9) 可用别的预测器——包括复杂机器学习。但构造点估计只是第一步；更重要的是量化不确定性，而这依赖预测器的性质。即便不做额外理论，也总可把 (6.7)(6.9) 当作 FRT 里的检验统计量。

6.2.2.3　从「调整协变量失衡」理解 Lin (2013)

线性调整估计量有等价形式

\[ \hat\tau(\beta_1,\beta_0)=\hat\tau-\gamma^\top\hat\tau_X, \qquad \gamma=\frac{n_0}{n}\beta_1+\frac{n_1}{n}\beta_0, \tag{6.11} \]

Lin (2013) 则为

\[ \hat\tau_L=\hat\tau-\hat\gamma^\top\hat\tau_X, \qquad \hat\gamma=\frac{n_0}{n}\hat\beta_1+\frac{n_1}{n}\hat\beta_0. \tag{6.12} \]

证明留作习题 6.9。这正是「调整协变量失衡」的数学说法：从 \(\hat\tau\) 中减去协变量均值差的某个线性组合。因 CRE 下 \(\hat\tau\) 与 \(\hat\tau_X\) 相关，选好 \(\gamma\) 就能减小方差。有趣的是，最终估计只依赖 \(\gamma\)（或 \(\hat\gamma\)），\(\beta\) 系数的选择并不唯一（Li and Ding, 2020）。因而 Lin (2013) 只是诸多最优估计之一——但它可用标准 OLS 加 EHW 标准误轻松实现，所以本书聚焦它。

6.2.3　关于回归调整的几点补充

6.2.3.1　ReM 与回归调整的对偶

Li et al. (2018b) 指出：ReM 与 Lin (2013) 的回归调整，是在设计与分析两端使用协变量的对偶。具体说，当 \(a\) 很小时，ReM 下 \(\hat\tau\) 的渐近分布，几乎就是 CRE 下 \(\hat\tau_L\) 的渐近分布。一端在设计里用协变量，一端在分析里用，阈值小时渐近效率增益近乎相同。

6.2.3.2　回归调整与事后分层的等价

若有 \(K\) 类离散协变量 \(C_i\)，可造 \(K-1\) 个中心化虚拟变量

\[ X_i=\bigl(I(C_i=1)-\pi_{[1]},\ldots,I(C_i=K-1)-\pi_{[K-1]}\bigr). \]

此时 Lin (2013) 回归调整与事后分层数值相同。

命题 6.3　基于上述 \(X_i\) 的 \(\hat\tau_L\)，与基于 \(C_i\) 的事后分层估计 \(\hat\tau_{\mathrm{PS}}\)（第 5.4 节）数值恒等。

证明留作习题 6.11。

6.2.3.3　双重差分作为 \(\hat\tau(\beta_1,\beta_0)\) 的特例

许多研究里，重要协变量 \(X\) 是处理前的滞后结果——例如教育里的前测、就业培训前的对数工资。取 \(\beta_1=\beta_0=1\)，便得到增益分数或双重差分估计量：

\[ \hat\tau(1,1) = n_1^{-1}\sum_{i=1}^{n}Z_i(Y_i-X_i) - n_0^{-1}\sum_{i=1}^{n}(1-Z_i)(Y_i-X_i) = \bigl\{\hat{\bar Y}(1)-\hat{\bar Y}(0)\bigr\} - \bigl\{\hat{\bar X}(1)-\hat{\bar X}(0)\bigr\}. \]

第一种写法是增益 \(g_i=Y_i-X_i\) 的均值差；第二种是两个均值差之差。它不同于 Lin (2013)：系数预先固定为 1，而非估计而得。\(\hat\tau(1,1)\) 无偏，且有保守方差 \(\hat V(1,1)\)（对增益的组内样本方差）。当滞后结果能强预测结果时，增益方差往往远小于结果本身，\(\hat\tau(1,1)\) 常大幅减小简单均值差的方差。细节见习题 6.12。

理论上，大样本下 Lin (2013) 总比 \(\hat\tau(1,1)\) 更有效；但 Lin 有限样本有偏，而 \(\hat\tau(1,1)\) 始终无偏。

6.2.4　推广到 SRE

也可能实验已按离散 \(C\) 分层，又观测到额外协变量 \(X\)。若各层都大，可在层内算 Lin (2013) 估计 \(\hat\tau_{L,[k]}\)，再加权：

\[ \hat\tau_{L,S}=\sum_{k=1}^{K}\pi_{[k]}\hat\tau_{L,[k]}, \qquad \hat V_{L,S}=\sum_{k=1}^{K}\pi_{[k]}^2\hat V_{\mathrm{ehw},[k]}, \]

其中 \(\hat V_{\mathrm{ehw},[k]}\) 来自第 \(k\) 层内「结果对截距、处理、协变量及其交互」OLS 的 EHW 方差。重要：协变量须按层内均值中心化。

6.3　统一、组合与比较

Li and Ding (2020) 统一了文献，并表明可把再随机化与回归调整组合起来：设计阶段 ReM，分析阶段用 Lin (2013) 加 EHW——设计里改善平衡，分析里提高效率。

表 6.2 从 Neyman (1923) 到 Li and Ding (2020) 做了汇总：箭头 1 是 CRE 下协变量调整的效率增益（渐近上 \(\hat\tau_L\) 方差小于 \(\hat\tau\)）；箭头 2 是 ReM 的效率增益（渐近上 \(\hat\tau\) 的分位区间更窄）；箭头 3、4 则是二者组合的好处。

分析＼设计 CRE ReM
\(\hat\tau\) Neyman (1923) Li et al. (2018b)
\(\hat\tau_L\) Lin (2013) Li and Ding (2020)

6.4　模拟

Angrist et al. (2009) 在一所加拿大大学评估多种提升大一成绩的策略。这里用子集：对照组，以及对「学业支持 + 成绩激励」处理组；结果是第一年末 GPA；缺失结果用观测均值填补（有些任意，见习题 6.14）。两个协变量：性别与基线 GPA。

未调整与 Lin 调整的结果约为：Neyman 估计 \(0.054\)（se \(0.076\)，\(p=0.472\)）；Lin 估计 \(0.075\)（se \(0.072\)，\(p=0.300\)）。调整后标准误更小，但仍不显著。

作者还用该数据，按表 6.2 的四种设计–分析组合做模拟：分别对处理/对照拟合结果对协变量的二次函数以补全科学表，并把误差缩放 \(0.1\) 与 \(0.25\) 以提高信噪比；「真」模型非线性，估计仍用线性调整——好评估设定错误下的性质。原书图 6.2 的小提琴图显示：各估计近乎无偏；ReM 与回归调整都提高效率；噪声更小时增益更明显。

6.5　结语

ReM 用 Mahalanobis 距离作平衡准则。也可考虑更一般的再随机化，准则是 \(Z\) 与 \(X\) 的函数——例如对各坐标做边际检验，当且仅当

\[ \Biggl|\frac{\hat\tau_{x_k}}{\sqrt{\dfrac{n}{n_1 n_0}S_{x_k}^2}}\Biggr|\le a \quad(k=1,\ldots,K) \tag{6.13} \]

时接受 \(Z\)。理论见 Zhao and Ding (2021b)。

对连续结果，Fisher 的 ANCOVA 多年是标准；Lin (2013) 的改进即便线性模型错误也有更好理论性质。对二值结果，人们常用逻辑回归中处理系数估计因果效应；可 Freedman (2008c) 指出，在潜在结果框架下它并不美好——即便模型正确，系数估的是条件优势比（附录 B.6），未必是关心的参数；模型错误时更难解释。若关心的是平均因果效应，CRE 下仍可用 Lin (2013) 分析二值结果。Guo and Basse (2023) 把 Lin 的理论扩展到用广义线性模型构造 ACE 估计。

其他扩展关注高维协变量：Bloniarz et al. (2016) 在协变量多于样本量时建议用 LASSO；Lei and Ding (2021) 在协变量个数发散、但不假定稀疏时，证明 Lin 估计在一定条件下仍相合且渐近正态；Wager et al. (2016) 提议用机器学习分析高维实验数据。

6.6　习题

6.1　ReM 下的 FRT　描述 ReM 下如何做 FRT。

6.2　Mahalanobis 距离的不变性　证明引理 6.1。

6.3　再随机化下均值差的偏倚　设从 CRE 抽 \(Z\)，当且仅当 \(\phi(Z,X)=1\) 时接受。证明：若 \(n_1=n_0\) 且 \(\phi(Z,X)=\phi(1_n-Z,X)\)，则 \(\hat\tau\) 对 \(\tau\) 无偏。验证 ReM 在 \(n_1=n_0\) 时满足该对称性；并给反例：两条件不成立时 \(\hat\tau\) 有偏。

6.4　CRE 中 \(R^2\) 的等价形式　证明命题 6.1。

6.5　潜在结果对协变量的线性投影　证明 \(S^2(1\mid X)=S_{Y(1)X}(S_X^2)^{-1}S_{XY(1)}\)，并写出 \(S^2(0\mid X)\)、\(S^2(\tau\mid X)\) 的类似公式。

6.6　线性调整族内的真实方差比较　证明 \(\operatorname{var}\{\hat\tau(\beta_1,\beta_0)\}\) 可分解为 \(\operatorname{var}\{\hat\tau(\tilde\beta_1,\tilde\beta_0)\}+\operatorname{var}\{\hat\tau(\beta_1,\beta_0)-\hat\tau(\tilde\beta_1,\tilde\beta_0)\}\)，其中 \(\tilde\beta_z\) 是 \(Y_i(z)\) 对 \((1,X_i)\) 的 OLS 投影系数。

6.7　Lin 的协变量调整估计　证明命题 6.2。

6.8　预测型与投影型估计量　证明 (6.8) 与 (6.10)。

6.9　协变量调整估计的等价形式　证明 (6.11) 与 (6.12)。

6.10　ANCOVA 也在调整失衡　证明 \(\hat\tau_F=\hat\tau-\hat\gamma_F^\top\hat\tau_X\)，其中 \(\hat\gamma_F\) 是 \(Y_i\) 对 \((1,Z_i,X_i)\) OLS 中 \(X_i\) 的系数。

6.11　CRE 的回归调整 / 事后分层　证明命题 6.3。

6.12　CRE 中的双重差分估计量　证明 \(\hat\tau(1,1)\) 无偏，计算其方差，并证明 \(\hat V(1,1)\) 保守；等号何时成立？再比较 \(\operatorname{var}\{\hat\tau(0,0)\}\) 与 \(\operatorname{var}\{\hat\tau(1,1)\}\)。

6.13　Penn Bonus 实验再分析　在原有区组之外使用其余协变量：层内回归调整再合并，报告点估计、标准误与 95% 区间，并与未调整比较。

6.14　随机化实验中的缺失结果　用处理/对照各自观测均值填补；再用结果对协变量的线性回归分别填补——结果会变吗？你还有别的处理缺失的方式吗？请说明并实现。

6.15　推荐阅读　本章标题与 Li and Ding (2020) 相同；该文分别研究了再随机化与回归调整在实验设计与分析阶段的角色。

  1. 记号「\(A\cdot\sim B\)」表示 \(A\) 与 \(B\) 有相同的渐近分布。↩︎