第 11 章　倾向得分在观察性研究因果效应中的核心角色

Rosenbaum and Rubin (1983b) 提出了倾向得分（propensity score），并讲清它在观察性因果推断里扮演的角色。这是统计学里被引最多的论文之一；Titterington (2013) 把它列为《Biometrika》过去一百年里被引第二多的文章。近几年，引用次数还在很快往上走。

IID 抽样下，每个单元带着四个随机变量：\(\{X,Z,Y(1),Y(0)\}\)。按概率的基本规则，联合分布可以拆开：

\[ \operatorname{pr}\{X,Z,Y(1),Y(0)\} = \operatorname{pr}(X)\times\operatorname{pr}\{Y(1),Y(0)\mid X\}\times\operatorname{pr}\{Z\mid X,Y(1),Y(0)\}, \]

其中

\(\operatorname{pr}(X)\) 是协变量分布；
\(\operatorname{pr}\{Y(1),Y(0)\mid X\}\) 是给定协变量后的结果分布；
\(\operatorname{pr}\{Z\mid X,Y(1),Y(0)\}\) 是给定协变量后的处理分布，也就是处理分配机制。

协变量是处理与结果之前就已发生的背景，通常不必为它们专门建模。若不想只靠结果模型过日子，目光就得落到处理分配机制上——倾向得分，正是从这里长出来的。

定义 11.1（倾向得分）　定义

\[ e\bigl(X,Y(1),Y(0)\bigr) = \operatorname{pr}\bigl\{Z=1\mid X,Y(1),Y(0)\bigr\} \]

为倾向得分。在强可忽略性下，

\[ e\bigl(X,Y(1),Y(0)\bigr) = \operatorname{pr}\bigl\{Z=1\mid X,Y(1),Y(0)\bigr) = \operatorname{pr}(Z=1\mid X), \]

于是倾向得分收成

\[ e(X)=\operatorname{pr}(Z=1\mid X), \]

也就是给定观测协变量时，接受处理的条件概率。

Rosenbaum and Rubin (1983b) 把 \(e(X)=\operatorname{pr}(Z=1\mid X)\) 当作定义，因为他们关心的是强可忽略性下的观察性研究。可有时，即便强可忽略性不成立，把 \(e\bigl(X,Y(1),Y(0)\bigr)=\operatorname{pr}\{Z=1\mid X,Y(1),Y(0)\}\) 当作更一般的定义，也会有用。细节见习题 11.1。

顺着他们，这一章会慢慢看见：在可忽略性下，\(e(X)\) 几乎是观察性因果推断的一把钥匙。

11.1　倾向得分作为降维工具

11.1.1　理论

定理 11.1　若 \(Z\perp\!\!\!\perp\{Y(1),Y(0)\}\mid X\)，则 \(Z\perp\!\!\!\perp\{Y(1),Y(0)\}\mid e(X)\)。

定理 11.1 说的是一件几乎像魔术的事：若给定协变量 \(X\) 时强可忽略性成立，那么只给定那条标量倾向得分 \(e(X)\)，它也成立。可忽略性本来要求把许多背景特征都条件进去；定理却说，把它们收成 \(e(X)\) 这一条，\(X\) 带来的混杂就都被拿掉了。原来的 \(X\) 可以很一般、维度很高；\(e(X)\) 却是夹在 0 与 1 之间的一维分数。于是倾向得分把协变量降了维，可忽略性却还在。用统计的话说，它是一件降维工具。下面先证明定理 11.1，再看这个降维性质的一个用法。

定理 11.1 的证明　按条件独立的定义，只需证明

\[ \operatorname{pr}\bigl\{Z=1\mid Y(1),Y(0),e(X)\bigr\} = \operatorname{pr}\bigl\{Z=1\mid e(X)\bigr\}. \tag{11.1} \]

(11.1) 的左边等于

\[ \begin{aligned} &\operatorname{pr}\bigl\{Z=1\mid Y(1),Y(0),e(X)\bigr\}\\ &= \mathrm{E}\bigl\{Z\mid Y(1),Y(0),e(X)\bigr\}\\ &= \mathrm{E}\Bigl[ \mathrm{E}\bigl\{Z\mid Y(1),Y(0),e(X),X\bigr\} \Bigm| Y(1),Y(0),e(X) \Bigr] \quad\text{（塔性质，见附录 A.1.5）}\\ &= \mathrm{E}\Bigl[ \mathrm{E}\bigl\{Z\mid Y(1),Y(0),X\bigr\} \Bigm| Y(1),Y(0),e(X) \Bigr]\\ &= \mathrm{E}\Bigl\{ \mathrm{E}(Z\mid X) \Bigm| Y(1),Y(0),e(X) \Bigr\} \quad\text{（强可忽略性）}\\ &= \mathrm{E}\bigl\{e(X)\mid Y(1),Y(0),e(X)\bigr\}\\ &= e(X). \end{aligned} \]

(11.1) 的右边等于

\[ \begin{aligned} &\operatorname{pr}\bigl\{Z=1\mid e(X)\bigr\}\\ &= \mathrm{E}\bigl\{Z\mid e(X)\bigr\}\\ &= \mathrm{E}\Bigl[ \mathrm{E}\bigl\{Z\mid e(X),X\bigr\} \Bigm| e(X) \Bigr] \quad\text{（塔性质）}\\ &= \mathrm{E}\bigl\{\mathrm{E}(Z\mid X)\mid e(X)\bigr\}\\ &= \mathrm{E}\bigl\{e(X)\mid e(X)\bigr\}\\ &= e(X). \end{aligned} \]

于是 (11.1) 两边相等。\(\square\)

11.1.2　倾向得分分层

定理 11.1 立刻提示一种估因果效应的简单办法：倾向得分分层（propensity score stratification）。先从最干净的情形说起：假定倾向得分已知，并且只取 \(K\) 个可能值 \(\{e_1,\ldots,e_K\}\)，\(K\) 远小于样本量 \(n\)。这时定理 11.1 变成

\[ Z\perp\!\!\!\perp\{Y(1),Y(0)\}\mid e(X)=e_k \qquad(k=1,\ldots,K). \]

于是我们得到一次 SRE：按倾向得分分层后，各层内是独立的 CRE。观察性数据，就可以按「以 \(e(X)\) 分层的 SRE」来分析。

一般情形里，倾向得分既未知，也不离散。我们常为 \(\operatorname{pr}(Z=1\mid X)\) 拟合一个统计模型（例如二值 \(Z\) 对 \(X\) 的逻辑模型），得到估计倾向得分 \(\hat e(X)\)。它可能取到与样本量一样多的不同值，但可以先离散化，去逼近上面那个简单情形。例如，按 \(\hat e(X)\) 的 \(K\) 个分位数做成 \(\hat e'(X)\)：若 \(\hat e(X_i)\) 落在 \(\hat e(X_i)\) 的 \((k-1)/K\) 分位数与 \(k/K\) 分位数之间，就把 \(\hat e'(X_i)\) 记为第 \(k/K\) 分位数 \(e_k\)。于是

\[ Z\perp\!\!\!\perp\{Y(1),Y(0)\}\mid \hat e'(X)=e_k \qquad(k=1,\ldots,K) \]

近似成立。观察性数据，就可以按「以 \(\hat e'(X)\) 分层的 SRE」来分析。给定 \(\hat e'(X)\) 时，可忽略性只是近似成立。还可以再对协变量做回归调整，去掉残余偏倚、提高效率。更具体地说：可在每一层内算 Lin (2013) 估计量，再按加权平均拼成最终估计（见第 6.2.4 节）。

倾向得分未知时，必须先拟合模型才能得到 \(\hat e(X)\)，最终估计也就依赖模型设定。可倾向得分分层真正需要的，往往只是估计倾向得分的排序对不对，而不必数值分毫不差。比起别的方法，它因此相对稳健。这份稳健在许多数值例子里都出现过，严格的定量理论却仍缺着。

一个要紧的实践问题是：\(K\) 怎么选？\(K\) 太小，即便近似地看，给定 \(\hat e'(X)\) 时的可忽略性也站不住；\(K\) 太大，每一层里的人又不够，许多层会只剩处理或只剩对照。于是必须折中。顺着 Cochran (1968) 的直觉，Rosenbaum and Rubin (1983b, 1984) 建议 \(K=5\)：在许多情形里，它已经能去掉很大一块偏倚。第 5 章里那个「魔法数字 5」，指的就是它。可在极大样本下，固定的 \(K\) 仍会让倾向得分分层有偏（Lunceford and Davidian, 2004）。只要每一层里处理与对照都还够，让 \(K\) 随样本长大一些，是合理的。Wang et al. (2020) 建议一种贪心选法：取使分层估计量仍定义良好的最大层数。这套手续的严格理论，也还没有完全立住。

另一个要紧的实践问题是：基于倾向得分分层的估计，标准误怎么算？有人条件于离散化后的 \(\hat e'(X)\)，按 SRE 去报标准误。这等于忽略了估计倾向得分时的不确定性。它常常高估真实方差——文献里有一个让人吃惊的结果：用估计的倾向得分，反而会减小估平均因果效应的渐近方差（Su et al., 2023）。也有人把整套手续做自助法，把全部不确定性都算进去。可因为这个估计量带离散化，自助法的理论也还不清楚。

11.1.3　应用

为说明倾向得分分层，我回到例 10.3。

nhanes_bmi = read.csv("nhanes_bmi.csv")[, -1]
z = nhanes_bmi$School_meal
y = nhanes_bmi$BMI
x = as.matrix(nhanes_bmi[, -c(1, 2)])
x = scale(x)

例 10.3 介绍过这套数据里的协变量。处理 School_meal 是是否参加学校餐项目的指示，结果 BMI 是身体质量指数。

原书图 11.1 给出估计倾向得分的直方图，分箱数分别为 \(K=5,10,30\)：白色是对照组，灰色是处理组。

按倾向得分分层，可对 \(K\in\{5,10,20,50,80\}\) 算点估计与标准误。Neyman_SRE 是第 5 章里分析 SRE 的那个函数。

pscore = glm(z ~ x, family = binomial)$fitted.values
n.strata = c(5, 10, 20, 50, 80)
strat.res = sapply(n.strata, FUN = function(nn){
  q.pscore = quantile(pscore, (1:(nn - 1))/nn)
  ps.strata = cut(pscore, breaks = c(0, q.pscore, 1),
                  labels = 1:nn)
  Neyman_SRE(z, y, ps.strata)
})
rownames(strat.res) = c("est", "se")
colnames(strat.res) = n.strata
round(strat.res, 3)

	5	10	20	50	80
est	\(-0.116\)	\(-0.178\)	\(-0.200\)	\(-0.265\)	\(-0.204\)
se	\(0.283\)	\(0.282\)	\(0.279\)	\(0.272\)	NA

\(K\) 从 5 增到 50，标准误在往下走。可不能走到 \(K=80\) 那么极端：有些层里只有一个处理单元或一个对照单元，标准误就定义不好。上面这些估计显示，学校餐项目对 BMI 有负向效应，但不显著。

也可以把它们与三种简单回归估计对照：不调整任何协变量的均值差，以及 Fisher 估计与 Lin 估计。

DiM = lm(y ~ z)
Fisher = lm(y ~ z + x)
Lin = lm(y ~ z + x + z*x)
res.regression = c(coef(DiM)[2], hccm(DiM)[2, 2]^0.5,
                   coef(Fisher)[2], hccm(Fisher)[2, 2]^0.5,
                   coef(Lin)[2], hccm(Lin)[2, 2]^0.5)
res.regression = matrix(res.regression, nrow = 2, ncol = 3)
rownames(res.regression) = c("est", "se")
colnames(res.regression) = c("naive", "fisher", "lin")
round(res.regression, 3)

	naive	fisher	lin
est	\(0.534\)	\(0.061\)	\(-0.017\)
se	\(0.225\)	\(0.227\)	\(0.226\)

朴素均值差与其余方法差得很远，因为协变量失衡很大。Fisher 估计的点估计仍为正，虽不显著。Lin 估计与倾向得分分层给出定性相同的结果。倾向得分分层的估计，在不同的 \(K\) 之间相当稳定。

11.2　倾向得分加权

11.2.1　理论

定理 11.2　若 \(Z\perp\!\!\!\perp\{Y(1),Y(0)\}\mid X\) 且 \(0<e(X)<1\)，则

\[ \mathrm{E}\{Y(1)\} = \mathrm{E}\left\{\frac{ZY}{e(X)}\right\}, \qquad \mathrm{E}\{Y(0)\} = \mathrm{E}\left\{\frac{(1-Z)Y}{1-e(X)}\right\}, \]

从而

\[ \tau = \mathrm{E}\{Y(1)-Y(0)\} = \mathrm{E}\left\{ \frac{ZY}{e(X)} - \frac{(1-Z)Y}{1-e(X)} \right\}. \]

证明之前，先留意多出来的那条假定 \(0<e(X)<1\)。它叫做重叠（overlap）或正值性（positivity）。若某些 \(X\) 上 \(e(X)=0\) 或 \(1\)，定理 11.2 的公式就会变成无穷。这并不只是加权识别公式才有的要求。定理 10.1 虽没把话说死，可 (10.6) 里的条件期望 \(\mathrm{E}(Y\mid Z=1,X)\) 与 \(\mathrm{E}(Y\mid Z=0,X)\)，也只有在 \(0<e(X)<1\) 时才定义良好。重叠条件可以看成一条技术条件，好让定理 10.1 与 11.2 的公式站得住。它也会给观察性因果推断带来一些哲学上的麻烦。若单元 \(i\) 有 \(e(X_i)=1\)，我们总能看见它在处理下的潜在结果 \(Y_i(1)\)，却永远看不见对照下的 \(Y_i(0)\)。这时 \(Y_i(0)\) 甚至可能没有良好定义，单元 \(i\) 的因果效应也就含糊起来。King and Zeng (2006) 把 \(e(X_i)=1\) 时的 \(Y_i(0)\) 叫做极端反事实（extreme counterfactual），并讨论过它们在因果推断里的危险。\(e(X_i)=0\) 时，情形对偶。

总而言之：\(Z\perp\!\!\!\perp\{Y(1),Y(0)\}\mid X\) 要求协变量足够丰富，好保证处理与潜在结果条件独立；\(0<e(X)<1\) 则要求：给定协变量之后，处理里仍留有残余的随机性。其实 Rosenbaum and Rubin (1983b) 的强可忽略性定义，把这两条都包进去了。当代文献里，它们常常分开陈述。

定理 11.2 的证明　我只证 \(\mathrm{E}\{Y(1)\}\) 那一侧；\(\mathrm{E}\{Y(0)\}\) 的证明类似。我们有

\[ \begin{aligned} \mathrm{E}\left\{\frac{ZY}{e(X)}\right\} &= \mathrm{E}\left\{\frac{ZY(1)}{e(X)}\right\}\\ &= \mathrm{E}\left[ \mathrm{E}\left\{\frac{ZY(1)}{e(X)}\Bigm| X\right\} \right] \quad\text{（塔性质）}\\ &= \mathrm{E}\left[ \frac{1}{e(X)}\,\mathrm{E}\bigl\{ZY(1)\mid X\bigr\} \right]\\ &= \mathrm{E}\left[ \frac{1}{e(X)}\,\mathrm{E}(Z\mid X)\,\mathrm{E}\bigl\{Y(1)\mid X\bigr\} \right] \quad\text{（强可忽略性）}\\ &= \mathrm{E}\left[ \frac{1}{e(X)}\,e(X)\,\mathrm{E}\bigl\{Y(1)\mid X\bigr\} \right]\\ &= \mathrm{E}\bigl[\mathrm{E}\{Y(1)\mid X\}\bigr]\\ &= \mathrm{E}\{Y(1)\}. \end{aligned} \]

\(\square\)

11.2.2　逆倾向得分加权估计量

定理 11.2 提示平均因果效应的如下矩估计：

\[ \hat\tau^{\mathrm{ht}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{Z_i Y_i}{\hat e(X_i)} - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{(1-Z_i)Y_i}{1-\hat e(X_i)}, \]

其中 \(\hat e(X_i)\) 是估计倾向得分。这就是逆倾向得分加权（inverse propensity score weighting, IPW）估计量，也叫 Horvitz–Thompson（HT） 估计量。Horvitz and Thompson (1952) 在抽样调查里提出它；Rosenbaum (1987a) 把它用到观察性因果推断。

可 \(\hat\tau^{\mathrm{ht}}\) 有不少毛病。尤其是：它对结果的平移变换并不不变。命题 11.1 把这件事说精确；证明留给习题 11.3。

命题 11.1（HT 估计量缺乏平移不变性）　若把每个 \(Y_i\) 改成 \(Y_i+c\)（\(c\) 为常数），则 HT 估计量从 \(\hat\tau^{\mathrm{ht}}\) 变成 \(\hat\tau^{\mathrm{ht}}+c(\hat 1_{\mathrm{T}}-\hat 1_{\mathrm{C}})\)，其中

\[ \hat 1_{\mathrm{T}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{Z_i}{\hat e(X_i)}, \qquad \hat 1_{\mathrm{C}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1-Z_i}{1-\hat e(X_i)} \]

可以看成常数 \(1\) 的两种不同估计。

命题 11.1 里，我用了看起来有点俏皮的记号 \(\hat 1_{\mathrm{T}}\) 与 \(\hat 1_{\mathrm{C}}\)：若代入真倾向得分，这两项的期望都是 \(1\)；细节见习题 11.3。有限样本里，\(\hat 1_{\mathrm{T}}-\hat 1_{\mathrm{C}}\) 一般并不为零。给每个结果加一个常数，不该改变平均因果效应；HT 估计量却跟着 \(c\) 走，因此不太合理。一个简单修补是：分别用 \(\hat 1_{\mathrm{T}}\) 与 \(\hat 1_{\mathrm{C}}\) 把权重归一化，得到

\[ \hat\tau^{\mathrm{hajek}} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}Z_i Y_i/\hat e(X_i)} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}Z_i/\hat e(X_i)} - \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(1-Z_i)Y_i/\bigl(1-\hat e(X_i)\bigr)} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(1-Z_i)/\bigl(1-\hat e(X_i)\bigr)}. \]

这是 Hajek 估计量，来自抽样调查里不等概率抽样的 Hájek (1971)。可以验证：它对平移变换不变。也就是说，把 \(Y_i\) 换成 \(Y_i+c\)，\(\hat\tau^{\mathrm{hajek}}\) 仍是原来那个数；见习题 11.3。许多数值研究也发现：有限样本里，\(\hat\tau^{\mathrm{hajek}}\) 比 \(\hat\tau^{\mathrm{ht}}\) 稳定得多。

11.2.3　IPW 的一个问题，以及因果推断的一个根本问题

许多渐近分析需要一条更强的重叠条件

\[ 0<\alpha_L\le e(X)\le\alpha_U<1, \]

也就是真倾向得分与 0 和 1 隔开一段距离。可 D’Amour et al. (2021) 指出：这其实相当强，协变量一多就更强。第 20 章会把这个问题慢慢展开。

即便真倾向得分满足强重叠，估计倾向得分仍可能贴近 0 或 1。一旦发生，加权估计量就会冲向无穷，有限样本里极不稳定。我们可以把估计倾向得分截断（truncate）为

\[ \max\bigl[\alpha_L,\,\min\{\hat e(X_i),\alpha_U\}\bigr], \]

也可以把 \(\hat e(X_i)\) 落在 \([\alpha_L,\alpha_U]\) 之外的单元修剪掉（trim）。Crump et al. (2009) 建议 \(\alpha_L=0.1\)、\(\alpha_U=0.9\)；Kurth et al. (2005) 建议 \(\alpha_L=0.05\)、\(\alpha_U=0.95\)。Yang and Ding (2018b) 给修剪建立了一些渐近理论。总体而言，修剪常常能稳住 IPW 估计量，却也给手续添了一份任意性。

11.2.4　应用

下面两个函数计算 IPW 估计量及其自助法标准误。

ipw.est = function(z, y, x, truncps = c(0, 1))
{
  ## fitted propensity score
  pscore = glm(z ~ x, family = binomial)$fitted.values
  pscore = pmax(truncps[1], pmin(truncps[2], pscore))
  ace.ipw0 = mean(z*y/pscore - (1 - z)*y/(1 - pscore))
  ace.ipw  = mean(z*y/pscore)/mean(z/pscore) -
    mean((1 - z)*y/(1 - pscore))/mean((1 - z)/(1 - pscore))
  return(c(ace.ipw0, ace.ipw))
}

ipw.boot = function(z, y, x, n.boot = 500, truncps = c(0, 1))
{
  point.est = ipw.est(z, y, x, truncps)
  ## nonparametric bootstrap
  n.sample = length(z)
  x = as.matrix(x)
  boot.est = replicate(n.boot, {
    id.boot = sample(1:n.sample, n.sample, replace = TRUE)
    ipw.est(z[id.boot], y[id.boot], x[id.boot, ], truncps)
  })
  boot.se = apply(boot.est, 1, sd)
  res = cbind(point.est, boot.se)
  colnames(res) = c("est", "se")
  rownames(res) = c("HT", "Hajek")
  return(res)
}

回到例 10.3，可按不同的截断区间去算 IPW 估计。下面是两种加权估计及其自助法标准误，截断分别取 \((0,1)\)、\((0.01,0.99)\)、\((0.05,0.95)\) 与 \((0.1,0.9)\)：

trunc.list = list(trunc0  = c(0, 1),
                  trunc.01 = c(0.01, 0.99),
                  trunc.05 = c(0.05, 0.95),
                  trunc.1  = c(0.1, 0.9))
trunc.est = lapply(trunc.list, function(t){
  est = ipw.boot(z, y, x, truncps = t)
  round(est, 3)
})
trunc.est

截断		est	se
\((0,1)\)	HT	\(-1.516\)	\(0.496\)
	Hajek	\(-0.156\)	\(0.258\)
\((0.01,0.99)\)	HT	\(-1.516\)	\(0.501\)
	Hajek	\(-0.156\)	\(0.254\)
\((0.05,0.95)\)	HT	\(-1.499\)	\(0.501\)
	Hajek	\(-0.152\)	\(0.255\)
\((0.1,0.9)\)	HT	\(-0.713\)	\(0.425\)
	Hajek	\(-0.054\)	\(0.246\)

HT 估计量与到目前为止讨论过的所有其他估计都差得很远。点估计看起来偏大，而且除非把估计倾向得分截断在 \((0.1,0.9)\)，它们都显著为负。这是 HT 估计量不稳定的一个例子。

11.3　倾向得分的平衡性质

11.3.1　理论

定理 11.3　倾向得分满足

\[ Z\perp\!\!\!\perp X\mid e(X). \]

进而，对任意函数 \(h(\cdot)\)，只要 (11.2) 两边的矩存在，就有

\[ \mathrm{E}\left\{\frac{Zh(X)}{e(X)}\right\} = \mathrm{E}\left\{\frac{(1-Z)h(X)}{1-e(X)}\right\}. \tag{11.2} \]

定理 11.3 不需要可忽略性。它只关于处理 \(Z\) 与协变量 \(X\)。第一部分说：给定倾向得分，处理指示与协变量独立。因此，在同一倾向得分水平上，处理组与对照组的协变量分布是平衡的。第二部分给出协变量平衡的加权等价形式。证明如下。

定理 11.3 的证明　先证 \(Z\perp\!\!\!\perp X\mid e(X)\)，即

\[ \operatorname{pr}\bigl\{Z=1\mid X,e(X)\bigr\} = \operatorname{pr}\bigl\{Z=1\mid e(X)\bigr\}. \tag{11.3} \]

步骤与定理 11.1 的证明相近。(11.3) 的左边等于

\[ \operatorname{pr}\bigl\{Z=1\mid X,e(X)\bigr\} = \operatorname{pr}(Z=1\mid X) = e(X), \]

右边等于

\[ \begin{aligned} \operatorname{pr}\bigl\{Z=1\mid e(X)\bigr\} &= \mathrm{E}\bigl\{Z\mid e(X)\bigr\}\\ &= \mathrm{E}\bigl[\mathrm{E}\{Z\mid X,e(X)\}\mid e(X)\bigr]\\ &= \mathrm{E}\bigl[\mathrm{E}\{Z\mid X\}\mid e(X)\bigr]\\ &= \mathrm{E}\bigl[e(X)\mid e(X)\bigr]\\ &= e(X). \end{aligned} \]

于是 (11.3) 成立。

再证 (11.2)。可以用与定理 11.2 类似的步骤。可一旦有了定理 11.2，证明更短：把 \(h(X)\) 看成一个结果，它的两个潜在结果相同，可忽略性成立：\(Z\perp\!\!\!\perp\{h(X),h(X)\}\mid X\)。(11.2) 左右两边之差，正是 \(Z\) 对 \(h(X)\) 的平均因果效应，因而为零。\(\square\)

11.3.2　协变量平衡检查

定理 11.3 的证明简单，对统计分析却很有用。还没看见结果数据之前，我们就可以检查：倾向得分模型是否设定得足够好，好让数据里的协变量平衡起来。Rubin (2007) 把这看作观察性研究的设计阶段；Rubin (2008) 认为，这能让因果推断更客观——因为设计阶段并不动用结果的取值。¹

在倾向得分分层里，我们有离散化的估计倾向得分 \(\hat e'(X)\)，并且近似地

\[ Z\perp\!\!\!\perp X\mid \hat e'(X)=e_k \qquad(k=1,\ldots,K). \]

于是可以检查：在离散化估计倾向得分的每一层内，处理组与对照组的协变量分布是否相同。

在倾向得分加权里，可以把 \(h(X)\) 看成伪结果，去估 \(Z\) 对 \(h(X)\) 的平均因果效应。真效应是 0，估计就不该显著异于 0。\(h(X)\) 的一个典范选择是 \(X\) 本身。

再看例 10.3。按 \(K=5\) 做倾向得分分层，所有协变量在处理组与对照组之间都平衡得很好。Hajek 估计量也有类似结果。唯一的例外是 Food_Stamp，即原书图 11.2 里的第 7 个协变量。图 11.2 给出平衡检查：各协变量上「平均因果效应」的点估计与 95% 置信区间。

11.4　习题

11.1　定理 11.1 的另一个版本
证明

\[ Z\perp\!\!\!\perp\bigl\{Y(1),Y(0),X\bigr\}\mid e\bigl(X,Y(1),Y(0)\bigr). \tag{11.4} \]

注：这个结果不需要强可忽略性。它蕴含

\[ Z\perp\!\!\!\perp\bigl\{Y(1),Y(0)\bigr\}\mid \bigl\{X,\,e\bigl(X,Y(1),Y(0)\bigr)\bigr\}. \]

Rosenbaum (2020) 与 Rosenbaum and Rubin (2023) 指出了 (11.4)，并把 \(e\bigl(X,Y(1),Y(0)\bigr)\) 叫做主未观测协变量（principal unobserved covariate）。

11.2　定理 11.1 的又一个版本
定理 11.1 是在强可忽略性下说的。可忽略性下也有对偶结果：若给定协变量 \(X\) 时可忽略性成立，则给定标量倾向得分 \(e(X)\) 时它也成立。

定理 11.4　若对 \(z=0,1\) 有 \(Z\perp\!\!\!\perp Y(z)\mid X\)，则对 \(z=0,1\) 有 \(Z\perp\!\!\!\perp Y(z)\mid e(X)\)。

请证明定理 11.4。

11.3　关于 IPW 估计量的更多结果
这与 11.2.2 节对 HT 估计量的讨论有关。第一，证明命题 11.1。第二，证明

\[ \mathrm{E}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{Z_i}{e(X_i)}\right)=1, \qquad \mathrm{E}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1-Z_i}{1-e(X_i)}\right)=1. \]

第三，证明：若给每个观测结果 \(Y_i\) 加上常数 \(c\)，Hajek 估计量 \(\hat\tau^{\mathrm{hajek}}\) 保持不变。

11.4　重分析 Rosenbaum and Rubin (1983a)
表 11.1 来自 Rosenbaum and Rubin (1983a)。他们关心：与药物治疗相比，冠状动脉旁路手术对心导管检查六个月后功能改善的因果效应。他们先用 74 个观测协变量估倾向得分，再按离散化的估计倾向得分做成 5 层。处理是二值的，结果也是二值的，数据便收成一张表。请根据表 11.1 估计平均因果效应，并报告 95% 置信区间。

注：若有兴趣，读完本书第四部分之后，可以去读 Rosenbaum and Rubin (1983a) 全文。那是因果推断里敏感性分析的一篇典范论文。

表 11.1　Rosenbaum and Rubin (1983a) 的表 1

按 \(\hat e(X)\) 的层	处理	患者数	改善比例
1	手术	26	0.54
1	药物	277	0.35
2	手术	68	0.70
2	药物	235	0.40
3	手术	98	0.70
3	药物	205	0.35
4	手术	164	0.71
4	药物	139	0.30
5	手术	234	0.70
5	药物	69	0.39

11.5　平衡得分与倾向得分：更多理论
Rosenbaum and Rubin (1983b) 还引入了平衡得分（balancing score）的概念。

定义 11.2（平衡得分）　若 \(Z\perp\!\!\!\perp X\mid b(X)\)，则称 \(b(X)\) 为平衡得分。

定义 11.2 里，\(b(X)\) 可以是标量，也可以是向量。一个显然的平衡得分是 \(b(X)=X\)，可它没有对原始协变量做任何简化，因此不大有用。由定理 11.3，倾向得分是一种特殊的平衡得分。更有意思的是，Rosenbaum and Rubin (1983b) 证明：倾向得分是最粗的平衡得分。下面的定理 11.5 把定理 11.3 收成特例。

定理 11.5　\(b(X)\) 是平衡得分，当且仅当 \(b(X)\) 比 \(e(X)\) 更细，意思是：存在某个函数 \(f(\cdot)\)，使 \(e(X)=f\bigl(b(X)\bigr)\)。

定理 11.5 与子组分析有关。我们关心的往往不只是平均因果效应 \(\tau\)，还有子组效应。例如，可能想分别估男孩与女孩中的平均因果效应。不失一般性，设 \(X\) 的第一个分量是女孩指示，关心

\[ \tau(x_1)=\mathrm{E}\bigl\{Y(1)-Y(0)\mid X_1=x_1\bigr\}, \qquad(x_1=1,0). \]

定理 11.5 蕴含：在可忽略性下，也有

\[ Z\perp\!\!\!\perp\{Y(1),Y(0)\}\mid e(X),X_1, \tag{11.5} \]

因为 \(b(X)=\{e(X),X_1\}\) 比 \(e(X)\) 更细，因而是平衡得分。(11.5) 保证：在 \(X_1\) 的每一水平上，给定倾向得分时可忽略性成立。于是可以在 \(X_1\) 的每一水平上，做同样的、基于倾向得分的分析，得到两个子组效应的估计。

带着上面的动机，请证明定理 11.5。

11.6　子组效应的一点基础
这与习题 11.5 有关，但可以独立做。

考虑标准观察性研究，协变量为 \(X=(X_1,X_2)\)，其中 \(X_1\) 是二值子组指示（例如是否统计学专业），\(X_2\) 是其余协变量。关心的参数是子组因果效应

\[ \tau(x_1)=\mathrm{E}\bigl\{Y(1)-Y(0)\mid X_1=x_1\bigr\}, \qquad(x_1=1,0). \]

证明

\[ \tau(x_1) = \frac{ \mathrm{E}\left\{ \dfrac{1(X_1=x_1)\,ZY}{e(X)} - \dfrac{1(X_1=x_1)\,(1-Z)Y}{1-e(X)} \right\} }{\operatorname{pr}(X_1=x_1)}, \]

并给出 \(\tau(x_1)\) 相应的 HT 与 Hajek 估计量。

11.7　推荐阅读
本章标题与 Rosenbaum and Rubin (1983b) 那篇经典论文相同。本章多数结果，直接来自他们的原文。

Rubin (2007) 与 Rubin (2008) 强调观察性研究的设计阶段，以便因果推断更客观。

实践上这是有用的建议；怎样把「客观」量化清楚，却并不完全明白。↩︎

11.1 倾向得分作为降维工具

11.1.1 理论

11.1.2 倾向得分分层

11.1.3 应用

11.2 倾向得分加权

11.2.1 理论

11.2.2 逆倾向得分加权估计量

11.2.3 IPW 的一个问题，以及因果推断的一个根本问题

11.2.4 应用

11.3 倾向得分的平衡性质

11.3.1 理论

11.3.2 协变量平衡检查

11.4 习题